Holonomiska begränsningar och grader av frihet

Christian Schnorr 02/08/2017. 1 answers, 160 views
classical-mechanics lagrangian-formalism coordinate-systems constrained-dynamics degrees-of-freedom

Wikipedia och andra källor definierar holonomiska begränsningar som en funktion

$$ f (\ vec {r} _1, \ ldots, \ vec {r} _N, t) \ equiv 0, $$

och säger att antalet grader av frihet i ett system minskas med antalet oberoende holonomiska begränsningar.

Jag kan ta flera sådana begränsningar $ f_1, \ ldots, f_m $ och formulera dem som enstaka en som är uppfylld om och endast om alla $ f_i $ är uppfyllda:

$$ f = \ sum_ {i = 1} ^ {m} {\ lvert f_i \ rvert}. $$

Denna kombinerade $ f $ skulle uppenbarligen minska antalet frihetsgrader med $ m $ istället för $ 1 $.

Alternativt, för att undvika absolutvärdet, kunde jag använda en summa kvadrater

$$ f = \ sum_ {i = 1} ^ {m} f_i ^ 2 $$

istället. Var är mitt fel i resonemang?

1 Answers


Qmechanic 04/13/2017.

Tja, i definitionen av holonomiska begränsningar $ f_1, \ ldots, f_m $, finns det också två tekniska regelbundenhetsförhållanden (vilka OPs motexemplar inte uppfyller):

  1. Funktionerna $ f_1, \ ldots, f_m, $ bör kontinuerligt differentieras med $ m \ leq 3N $.

  2. $ M \ gånger 3N $ rektangulär Jacobianmatris $$ \ frac {\ partiell (f_1, \ ldots, f_m)} {\ partial (\ vec {r} _1, \ ldots, \ vec {r} _N)} $$ borde ha rank $ m $.

Regelbundna villkor 1 & 2 är införda för att säkerställa lokal existens av generaliserade koordinater $ q_1, \ ldots, q_n $, i något öppet grannskap, där $ n: = 3N-m $, via inversfunktionssatsen .

Se även detta relaterade Phys.SE-inlägg.

referenser:

  1. M. Henneaux & C. Teitelboim, Quantization of Gauge Systems, 1994; Underavsnitt 1.1.2, sid. 7.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags