Intuition på GNS-konstruktionen och hur det hänför sig till vanlig kvantmekanik

user1620696 06/13/2017. 3 answers, 274 views
quantum-mechanics mathematical-physics operators hilbert-space definition

Läser ett papper, nämns GNS-konstruktionen enligt följande:

Det är viktigt att komma ihåg att ett resultat (teorem) på grund av Gel'fand, Naimark och Segal (GNS) konstaterar att för varje $ \ omega $ på $ \ mathcal {A} $ finns det alltid en representation $ (f_ \ omega, \ mathfrak {h} _ \ omega $ (vanligtvis kallad en cyclic vector ) så att $ f_ \ omega (\ mathcal {A}) \ Phi_ \ omega $ är tät i $ \ mathfrak {h} _ \ omega $ och $ \ omega (A) = \ langle \ Phi_ \ omega | f _ {\ omega} (\ mathcal {A}) | \ Phi_ \ omega \ rangle $. Dessutom garanterar GNS-resultatet att upp till enhetlig ekvivalens, $ (f_ \ omega, \ mathfrak {h} _ \ omega) $ är den unika cykliska representationen av $ \ mathcal {A} $.

Med tanke på matematiken finns det en teori och ett motsvarande bevis. Min poäng här är inte att diskutera dessa. Min punkt här är att diskutera intuitionen om denna konstruktion ur fysikens synvinkel.

Så det första som gör mig förvirrad: I $ C ^ \ ast $ -algebra-tillvägagångssättet trodde jag att varje stat $ \ omega: \ mathcal {A} \ till \ mathbb {R} $ var motstycket till en ket $ | \ phi \ rangle $ i det traditionella tillvägagångssättet.

Vi ser dock i GNS-konstruktionen att varje stat $ \ omega $ inducerar en representation . Med andra ord, istället för att ha för varje $ \ omega $ one-kedja, har vi för varje $ \ omega $ ett hel Hilbert-utrymme.

Mer än det har vi det cykliska vektorkondition, vilket jag inte förstår fysiskt.

Så min fråga är: Vad är intuitionen på GNS-konstruktionen från fysikens synvinkel? Hur hänför sig staterna $ \ omega $ från den algebraiska metoden till kets $ | \ psi \ rangle $ (statliga vektorer) i den traditionella metoden? Vad avser det cykliska vektorvillkoret ur ett fysiskt perspektiv?

3 Answers


Slereah 06/13/2017.

Grundsidan av GNS-konstruktionen är att du använder ett enda tillstånd (ofta är det vakuum, om vi arbetar på plattutrymme) för att återskapa hela Hilbert-rymden. Detta är verkligen relaterat till cykliciteten: uppsättningen av alla vektorer genererade av algebras funktion på vakuumet är tät i det resulterande Hilbert-rummet. För att generera hela Hilbert-rymden, använd bara varje medlem av $ C ^ * $ -algebra för att skapa en tät delmängd av Hilbert-rymden, och gör sedan Cauchy-fullbordandet av dem för att generera hela Hilbert-rymden.

Ett enkelt sätt att få tillbaka den vanliga representationen som ett Hilbert-utrymme är att överväga produkten av tre medlemmar av algebraen, då blir deras representation $ \ pi $ som Hilbert rymdoperatörer

$$ \ omega (ABC) = \ langle \ omega, \ pi (ABC) \ omega \ rangle $$

Då kan du bara definiera staterna $ \ vert \ psi \ rangle = \ pi (C) \ vert \ omega \ rangle $ och $ \ vert \ phi \ rangle = \ pi (A) \ vert \ omega \ rangle $ ditt tillstånd blir

$$ \ omega (ABC) = \ langle \ phi, \ pi (B) \ psi \ rangle $$

Detta blir då den vanliga övergången mellan två stater.

Ett enkelt exempel på detta skulle till exempel vara att överväga skapande- och utrotningsoperatörerna på vakuumet. De bildar en $ C ^ * $ algebra, och de kan agera på vakuumtillståndet för att skapa ett antal stater som kommer att bilda ett Hilbert-utrymme. Å andra sidan kommer ingen mängd tillämpningsskapande operatörer på vakuumet att ge dig det tillstånd som definieras av Fock-staten

$$ \ vert 1,1,1,1,1, .... \ rangle $$

Om vi ​​hade använt detta tillstånd som den grundläggande $ \ omega $ skulle vi ha en enhetligt inequivalent teori.


ACuriousMind 06/13/2017.

I omvänd ordning:

  1. Cyklisitet bör ses som ett slags irreducibility villkor. Observera att varje vektor av en irreducerbar representation är cyklisk, och att förekomsten av en icke-cyklisk vektor skulle indikera reducerbarhet. Så det är liten betydelse för cykliken bortom den vanliga idén att studera alla irreducerbara representationer eftersom de innehåller tillsammans all relevant information om algebra. En aspekt som kan vara värt att nämna är att krävande cyklicitet gör GNS-konstruktionen unique - det kan finnas många utrymmen där en viss abstrakt stat representeras av en vektor, men alla representationer där den är cyklisk är enhetligt isomorf.

  2. Relationen mellan stater och vektorer är följande: I en riktning, från vektorer till stater, har vi det för varje representation $ \ rho: \ mathcal {A} \ till \ mathrm {B} (H) $ på ett Hilbertrum $ H $ med begränsade operatörer $ \ mathrm {B} (H) $ och varje vektor $ v \ i H $, kartan $ \ mathcal {A} \ till \ mathbb {C}, A \ mapsto \ langle v \ vert \ rho (A) \ vert v \ rangle $ är ett tillstånd i abstrakt mening. Omvänt är det just GNS-konstruktionens punkt att för varje abstrakt stat man kan hitta ett Hilbert-utrymme så att staten ges av en vektor på det rummet i den meningen.

  3. Jag ser ingenting intutivt om det (och jag är lite förbryllad vilken typ av intuition du förväntar dig för abstrakta $ C ^ \ $ $ algebraer), men fysiskt säkerställer GNS-konstruktionen oss att den abstrakta $ C ^ \ ast $ -algebraiska perspektivet och det traditionella tillvägagångssättet som börjar med en algebra av observerbarhet i ett Hilbert-rum är likvärdigt: Den direkta summan över alla GNS-representationer som är associerade med (rena) tillstånd i algebra $ \ mathcal {A} $ är trogen och en isometri som är den abstrakta algebra isometrisk isomorf för algebra av begränsade operatörer på det Hilbert-rummet. Därför gör det no difference in the outcomes om vi tar det "abstrakta" eller "konkreta" synsättet. Detta är innehållet i Gel'fand-Naimark-steget .


user154997 06/13/2017.

Som fysiker förstår jag GNS som följer.

kort version

Med tanke på observabiliteter, förväntningsvärden och symmetrier kan vi rekonstruera den vanliga QM med Hilbertrummet, dess definition av förväntningsvärden som "smörgåsar" och dess vanliga enhetliga representation av symmetrier.

mer formell version

Vi ger oss själva

  • en algebra $ \ mathcal {A} $ stabil under $ A \ mapsto A ^ * $: de ska identifieras med våra operatörer;
  • en funktion $ \ omega $ som associerar ett komplext tal till varje element i den algebraen: de kommer att vara operatörernas förväntningsvärden;
  • en symmetrigrupp $ G $ som verkar på den algebra så att
    • någon symmetri $ s $ uppfyller $ s (AB) = s (A) s (B) $,
    • och det lämnar $ \ omega $ invariant: $ \ omega (s (A)) = \ omega (A) $.

Sedan konstruerar GNS:

  • ett Hilbert-utrymme $ \ mathcal {H} $,
  • en vakuumvektor $ \ mid 0 \ rangle $,
  • en representation $ \ phi $ av algebra $ \ mathcal {A} $, dvs en kartläggning från $ \ mathcal {A} $ till $ \ mathcal {H} $ så att $ \ phi (AB) = \ phi (A) \ phi (B) $, som dessutom har egenskapen att förväntningen av något element $ A \ i \ mathcal {A} $ är kvantförväntningen av $ \ phi (A) $: $$ \ omega (A) = \ langle 0 \ mid \ phi (A) \ mid 0 \ rangle $$
  • en enhetlig reprentation av symmetrigruppen som ger symmetrin på Hilbert-rummet, dvs att varje $ s \ i G $ är associerad med en enhetlig operatör $ U_s $ på Hilbert-rummet, så att $$ \ phi (s (A)) = U_s \ phi (A) U_s ^ * $$

vakuumets cykliskhet

Den korta versionen är att genom att tillämpa alla operatörsrepresentationer på vakuumet får vi nästan alla delar av $ \ mathcal {H} $. Den rigorösa versionen är att $ \ left \ {\ phi (A) \ mid \! 0 \ rangle \ mid A \ in \ mathcal {A} \ right \} $ är tät i $ \ mathcal {H} $.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags