Vad är definitionen av temperatur, en gång för alla? [duplicera]

Joshua Benabou 06/05/2017. 5 answers, 3.517 views
thermodynamics statistical-mechanics temperature definition

Kan någon förklara för mig vad den formella definitionen av temperatur är?

Varken min lärobok, min professor eller någon av de online källor jag har kontrollerat kan ge mig en ordentlig definition av temperatur. Även Feynman definierar inte temperaturen. Ärligt talat är mängden cirkulära definitioner och tvetydigheter jag stött på när jag försökte förstå de exakta definitionerna av termodynamiska koncept.

Det bästa jag fick var att temperaturen hos ett partikelsystem är ett mått på sin genomsnittliga kinetiska energi.

Vid utlämning av den ideala gaslagen för monoatomiska gaser är avledningen av den interna energiformeln $ U = 3 / 2PV $ tydlig för mig. Men då används det att den genomsnittliga kinetiska energin i ett system ges i form av dess temperatur som $ 3 / 2kT $. För en monoatomisk gas är den totala energin helt enkelt antalet molekyler $ N $ multiplicerat med den genomsnittliga kinetiska energin (eftersom molekylerna antas ha ingen rotationsenergi) och således $ U = 3 / 2NkT $ vilket ger $ PV = NkT $ vilket är den ideala gaslagen.

Så ska jag anta att den genomsnittliga kinetiska energin i ett system är lika med en konstant multiplicerad med sin temperatur $ T $ som en definition för temperatur? Jag tror inte det eftersom det här är faktiskt equipartitionsteoret, vilket innebär att temperaturen måste definieras oberoende på andra håll.

Så vad är den korrekta definitionen av temperatur i termodynamik och kinetikteori och dessutom varför är det att när vi placerar en termometer i ett bad av vatten kan vi säga att den läsning vi får är ett mått på molekylernas genomsnittliga kinetiska energi i badet?

5 Answers


user154997 06/06/2017.

Eftersom Fabian gav dig ett termodynamiskt perspektiv, försöker jag ge dig en syn på statistisk fysik. Du fick faktiskt mycket nära när du citerade equipartitionsteoret eftersom den allmänna bilden är väldigt mycket.

Ultra-täta versionen: Temperaturen är den inversa av Lagrange-multiplikatorn som säkerställer energibesparing vid maximering av den statistiska entropin.

Jag ska stanna i en klassisk ram så att jag inte behöver överväldiga dig med täthetsoperatörens kvantmekaniska maskiner. Låt oss säga att vi har ett system med $ N $ partiklar. Vi ger oss en fasdensitet $ D (x_1, p_1, x_2, p_2, \ cdots, x_N, p_N) $: sannolikheten för att den i-partikeln har en position mellan $ x_i $ och $ x_i + \ delta x_i $, och en momentum mellan $ p_i $ och $ p_i + \ delta p_i $ är proportionell mot $ D (x_1, p_1, \ cdots, x_N, p_N) \ delta x_1 \ delta p_1 \ cdots \ delta x_N \ delta p_N $. Då konstruerar vi den statistiska entropin $ S (D) $. Det här är därför en funktion, dvs en funktion av funktionen $ D $:

$$ S (D) = -k \ int dx_1dp_1 \ cdots dx_Ndp_N \ D \ log D $$

där jag inte skrev argumenten på $ D $ för läsbarhet.

Nu är spelet att hitta $ D $ som maximerar $ S (D) $ under de begränsningar som vissa makroskopiska kvantiteter är kända. Det enklaste exemplet är det för det kanoniska ensemblet där den makroskopiska energin $ U $ är känd.

$$ U = \ int dx_1dp_1 \ cdots dx_Ndp_N \ D \ u $$

där $ u (x_1, p_1, \ cdots, x_N, p_N) $ är den mikroskopiska energin för den givna punkten i fasutrymme. Till exempel, för den perfekta gasen, kan vi bara ta hänsyn till kinetisk energi,

$$ u (x_1, p_1, \ cdots, x_N, p_N) = \ sum_ {i = 1} ^ N \ frac {p_i ^ 2} {2m}, $$

där $ m $ skulle vara massan av varje molekyl i gasen.

Den begränsade maximeringen transformeras sedan i en obestridd en genom att faktiskt maximera

$$ S (D) + \ beta U + \ lambda_0 \ int dx_1dp_1 \ cdots dx_Ndp_N D $$

där $ \ lambda_0 $ introduceras för att upprätthålla begränsningen, alltid närvarande, att $ D $ måste normaliseras till 1 så att den probabilistiska definitionen ovan är meningsfull. $ \ beta $ och $ \ lambda_0 $ kallas Lagrange multiplikatorer. Resultatet är det

$$ D = \ frac {1} {Z} e ^ {- \ beta u} $$

där normaliseringen $ Z $ heter partitionsfunktionen. Detta är Boltzmann-Gibs-distributionen. Slutligen kan vi definiera temperaturen $ T $ som

$$ \ beta = \ frac {1} {kT} $$


Diracology 06/06/2017.

Ur en logisk och termodynamisk synpunkt måste definitionen av temperatur ges av Zeroths lag av termodynamik.

Låt oss säga att vi inte vet vilken temperatur som är. Vi vet emellertid att om vi låter två kroppar interagera kan de ändra vissa termometriska egenskaper (såsom volym, tryck, elmotstånd, ...) av varandra. När det inte finns någon förändring alls i någon termometrisk egenskap, säger vi att kropparna har uppnått termisk jämvikt. Zeroth lagen består av det empiriska faktumet att om $ A $ är i termisk jämvikt med $ B $ och $ B $ är i termisk jämvikt med $ C $ så är $ A $ i termisk jämvikt med $ C $. Detta är en ekvivalensrelation som klassificerar en uppsättning kroppar i delgrupper som kallas ekvivalensklasser . Vi märker sedan varje klass med ett tal $ T> 0 $ som vi ska ringa temperaturen. Zeroth-lagen tillåter oss att upprätta termisk jämvikt bara vad gäller en ny definierad variabel kallad temperatur.

Definitionen ovan är dock inte absolut. Numret vi associerar med varje delmängd av kroppar i termisk jämvikt är godtyckligt. För att avlägsna denna godtycklighet (åtminstone delvis) använder vi termodynamikens andra lag för att definiera den så kallade absoluta eller termodynamiska temperaturen . Den andra lagen innebär att varje reversibel termisk motor som verkar mellan två källor har effektivitet som ges av $$ \ eta_R = 1- \ frac {T_2} {T_1}, $$ där $ T_1 $ och $ T_2 $ är temperaturerna i källorna. Med tanke på universaliteten i detta resultat kan man till exempel bestämma temperaturen för kallkällan $ T_2 $, mäta - mekaniskt - effektiviteten hos motorn och sedan temperaturen $ T_1 $ bestäms av $$ T_1 = \ frac {T_2} {1 \ eta_R}. $$ Observera att det inte längre är godtyckligt om begreppet temperatur, förutom valet, är den kalla källans temperatur. Därför är det lämpligt att använda som referenspunkt som är mycket reproducerbar var som helst. Ett standardval är den tredubbla punkten av vatten som definieras till $ 273.16 \, \ mathrm K $.


Fabian 06/06/2017.

Här är definitionen av temperatur i termodynamik:

  • den första lagen definierar heat $ Q $ som den "saknade" energin $$ \ delta Q = d U - dW \ tag {1} $$ där $ U $ är den totala (inre) energin och $ W $ är arbetet .

Observera dock att värmen inte är definierad för ett tillstånd i systemet men du måste känna till processen (vägen) som du har nått till nuvarande tillstånd. Det vill säga att endast förändringen $ \ delta Q $ definieras i (1) och inte $ Q $ själv.

  • I den andra lagen definieras den (absoluta) temperaturen $ T $ som den integrerade faktorn som gör $ \ delta Q $ till en total differential $ dS $. I mer fysiska termer är det den faktor som utgår från $ \ delta Q $ en kvantitet $ S $ som bara beror på systemets status $$ dS = \ frac {\ delta Q} {T}. \ Tagg {2} $$

Via (2) temperaturen definieras upp till en multiplikativ konstant. Denna konstant definieras vanligen (via Boltzmann-konstanten) på ett sådant sätt att det finns 100 enheter mellan frysning och kokningstemperatur för vatten vid omgivande tryck.

Edit:

Tack vare Valter Moretti har jag funnit att du måste lägga till villkoret att (2) att $ S $ måste vara omfattande.


user121330 06/05/2017.

Matematisk:

$$ T = \ frac {\ partial U} {\ partial S} _ {V, N} $$

Temperaturen är förändringen i intern energi med avseende på entropin när volymen och talkonstanten hålls.

Vanligt engelska: Temperaturen är ett mått på den fria energin i ett objekt. Olika föremål har olika kapacitet för att hålla energi. Till exempel kan ammoniak vid rumstemperatur hålla ca 10 gånger energin som gasformig argon (per gram). Komplicerar saker ytterligare, ett materials kapacitet att rymma fri energi förändras med temperaturen. I stället för att bara rapportera den fria energin i ett objekt, rapporterar temperaturen den fria energin normaliserad till hur mycket kapacitet det objektet har vid den temperaturen. Allt detta tar oss tillbaka till den definitionen som känns mycket cirkulär och förklarar inte riktigt mycket ur sammanhanget:

Heuristisk: Temperaturen är kvaliteten på materia som är densamma när föremål i kontakt når termisk jämvikt.

Mekanisk revision: Du har hört talas om rörelsen av molekyler i en gas och vinklar av atomer i ett fast material, och det är ett sätt att förstå saker, men det finns också foton och (matematiska) fononer som ger temperaturen. Det visar sig att vi känner till solens temperatur inte för att vi skickade en termometer, utan för att den strålar fotoner precis som allting och frekvensfördelningen av det utgående ljuset överensstämmer med solens yta som ligger vid ca 5800K. Vi vet ens att det mesta av rymden har en jämn temperatur på ca 3K på grund av samma egenskap.

Redaktionellt: Energi går från objekt till objekt och typ för att skriva hela tiden. Energi är ett abstrakt begrepp som rör alla fysiska vetenskaper (och beskriver hundratals energiformer), så vi kan inte riktigt förvänta oss att dess derivat med avseende på Entropi är bara ett fenomen. Fortsätt utforska.


OrangeSherbet 03/06/2018.

Vad är temperaturen? Det finns mycket formella matematiska svar på denna fråga. Det bästa svaret jag har mött under mina sex års fysikutbildning var emellertid i mitt ursprungliga termodynamik kurs mitt andra år, i Schroeder's Thermal Physics , sidorna 85-91. Min förståelse har emellertid utvecklats med exponering för sannolikhet och informationsteori.

Oavsett vilken temperaturförståelse man vill få är i grunden begränsad av sin förståelse av vad entropi är.

Systemets tillstånd är allt som kan vara känt samtidigt om ett system (vilket är begränsat av kvantmekanik). När du väl vet allt det finns att veta om ett system har du bestämt sitt tillstånd.

Entropi motsvarar det expected antalet ja / nej frågor som krävs för att bestämma systemets tillstånd . Observera ordet "förväntat" (vilket betyder medelvärde) och ordet "minimalt" (vilket betyder att du frågar de best frågorna du eventuellt kan).

Du har nog aldrig hört den här definitionen av entropi, men den här definitionen är faktiskt helt korrekt, förutom i fysiken multiplicerar vi detta nummer med $ k_b ln (2) $ (ett tal) bara av historiska skäl. Så när du läser entropy , bör du försöka tänka expected number of yes/no questions . Det är inte fel, det är väldigt intuitivt, och det är väldigt användbart.

Det finns en enkel lag som säger att det förväntade antalet ja / nej frågor som krävs för att bestämma tillståndet för ett slutet system aldrig kan minska . Detta kallas termodynamikens andra lag. Det är en cool lag. Och när entropi definieras som det expected antalet frågor är det en exakt lag som always innehar. Det rymmer även Maxwells Demon.

Det förväntade antalet frågor för att bestämma tillståndet för ett slutet system kan säkert increase . Och det kommer säkert, tills det träffar en gräns. Ett system som har drabbat denna "gräns för okänslighet" upptar alla möjliga tillstånd med samma sannolikhet, och jag kallar detta system ergodic . Detta händer always om du väntar tillräckligt länge, tack IMO till matematiken för markov-kedjor (varje slutet system är nödvändigtvis en irreducibel ergodisk markov-kedja som närmar sig en stationär fördelning). Detta kallas den ergodic hypothesis i fysiken.

Tänk på två ergodiska system, en hög temperatur och en låg temperatur.

När ett system har hög temperatur betyder det att små förändringar i systemets energi orsakar stora förändringar i systemets entropi (i själva verket är detta definitionen av temperatur). Tänk på entropi som det förväntade antalet ja / nej frågor, det betyder att du måste ställa många fler frågor för att bestämma systemets tillstånd om du lägger till lite energi.

När ett system har låg temperatur betyder det att små förändringar i systemets energi inte förändrar entropin i systemet mycket. Du kommer inte behöva fråga väsentligt fler frågor för att bestämma systemets tillstånd om det har lite mer energi.

Tänk nu på det kombinerade systemet, stängt av från resten av universum. Den tredje lagen ställer in en begränsning av det förväntade antalet ja / nej frågor för att bestämma det kombinerade systemets tillstånd. Tänk på vad som händer om systemen kan byta energi (och bara energi!).

Om energi inte utväxlas mellan system med låg temperatur och hög temperatur, är det förväntade antalet frågor som krävs för hela systemet $ N_ {1 + 2} $ bara summan av det förväntade antalet frågor för varje delsystem: $ N_ { 1 + 2} = N_1 + N_2 $.

Men vad händer om de två delsystemen kan och utbyter energi? Den tredje lagen säger att det förväntade antalet frågor som krävs för att bestämma det kombinerade systemets tillstånd inte kan decrease .

If du vet att mer energi strömmar från högtemperatursystemet till lågtemperatursystemet (vilket det säkert kan, strömmar energi slumpmässigt), vet du från temperaturdefinitionen att antalet frågor som krävs för att bestämma det kombinerade systemets tillstånd har minskat, med uppenbar överträdelse av den andra lagen: $ N_ {1 + 2} <N_1 + N_2 $. Denna kunskap om "bakåtflöde av energi" kan emellertid inte erhållas utan att fråga ett visst antal frågor $ N_q $ av systemet: det exakta antalet som krävs av den andra lagen $ N_ {1 + 2} \ geq N_1 + N_2 + N_q $ .

Å andra sidan, om allt du vet är energiutbyte sker i detta kombinerade system, från den ergodiska hypotesen är det förväntade antalet frågor du behöver fråga bara ökande, närmar sig den ergodiska gränsen. Detta requires att energi strömmar i genomsnitt (slumpmässigt) från den heta till den kalla saken. Och den ergodiska gränsen är när den heta och den kalla saken är samma temperatur.


HighResolutionMusic.com - Download Hi-Res Songs

1 The Chainsmokers

Beach House flac

The Chainsmokers. 2018. Writer: Andrew Taggart.
2 (G)I-DLE

POP/STARS flac

(G)I-DLE. 2018. Writer: Riot Music Team;Harloe.
3 Anne-Marie

Rewrite The Stars flac

Anne-Marie. 2018. Writer: Benj Pasek;Justin Paul.
4 Ariana Grande

​Thank U, Next flac

Ariana Grande. 2018. Writer: Crazy Mike;Scootie;Victoria Monét;Tayla Parx;TBHits;Ariana Grande.
5 Diplo

Close To Me flac

Diplo. 2018. Writer: Ellie Goulding;Savan Kotecha;Peter Svensson;Ilya;Swae Lee;Diplo.
6 BTS

Waste It On Me flac

BTS. 2018. Writer: Steve Aoki;Jeff Halavacs;Ryan Ogren;Michael Gazzo;Nate Cyphert;Sean Foreman;RM.
7 Clean Bandit

Baby flac

Clean Bandit. 2018. Writer: Jack Patterson;Kamille;Jason Evigan;Matthew Knott;Marina;Luis Fonsi.
8 Imagine Dragons

Bad Liar flac

Imagine Dragons. 2018. Writer: Jorgen Odegard;Daniel Platzman;Ben McKee;Wayne Sermon;Aja Volkman;Dan Reynolds.
9 BlackPink

Kiss And Make Up flac

BlackPink. 2018. Writer: Soke;Kny Factory;Billboard;Chelcee Grimes;Teddy Park;Marc Vincent;Dua Lipa.
10 Nicki Minaj

No Candle No Light flac

Nicki Minaj. 2018. Writer: Denisia “Blu June” Andrews;Kathryn Ostenberg;Brittany "Chi" Coney;Brian Lee;TJ Routon;Tushar Apte;ZAYN;Nicki Minaj.
11 Rita Ora

Cashmere flac

Rita Ora. 2018. Writer: Sean Douglas;Lindy Robbins.
12 Backstreet Boys

Chances flac

Backstreet Boys. 2018.
13 Brooks

Limbo flac

Brooks. 2018.
14 Rita Ora

Velvet Rope flac

Rita Ora. 2018.
15 Fitz And The Tantrums

HandClap flac

Fitz And The Tantrums. 2017. Writer: Fitz And The Tantrums;Eric Frederic;Sam Hollander.
16 Little Mix

Woman Like Me flac

Little Mix. 2018. Writer: Nicki Minaj;Steve Mac;Ed Sheeran;Jess Glynne.
17 Cher Lloyd

None Of My Business flac

Cher Lloyd. 2018. Writer: ​iamBADDLUCK;Alexsej Vlasenko;Kate Morgan;Henrik Meinke;Jonas Kalisch;Jeremy Chacon.
18 Billie Eilish

When The Party's Over flac

Billie Eilish. 2018. Writer: Billie Eilish;FINNEAS.
19 Kelly Clarkson

Never Enough flac

Kelly Clarkson. 2018. Writer: Benj Pasek;Justin Paul.
20 Lil Pump

Arms Around You flac

Lil Pump. 2018. Writer: Rio Santana;Lil Pump;Edgar Barrera;Mally Mall;Jon Fx;Skrillex;Maluma;Swae Lee;XXXTENTACION.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags