Definition av konjugatmoment i QFT

Piotr 05/28/2017. 2 answers, 372 views
quantum-field-theory momentum definition

Mina föreläsningsnoteringar definierar konjugatmomentet i ett skalärfält via:

$$ \ pi = \ dot {\ psi} $$

Var

$$ \ psi = \ int \ frac {d ^ 3p} {(2 \ pi) ^ {3}} \ frac {1} {\ sqrt {2E_p}} \ vänster (a_p e ^ {i \ vec {p} \ cdot \ vec x} + a_p ^ \ dagger e ^ {- i \ vec p \ cdot \ vec x} \ right) $$

och hävdar att detta ger

$$ \ pi = \ int \ frac {d ^ 3p} {(2 \ pi) ^ {3}} \ sqrt {\ frac {E_p} {2}} \ vänster (a_p e ^ {i \ vec p \ cdot \ vec x} + a_p ^ \ dagger e ^ {- i \ vec p \ cdot \ vec x} \ right) $$

medan du arbetar i Schodinger-bilden. Men klart $ \ psi $ beror inte ens på tiden. Tror jag rätt att det som står i mina föreläsningsanteckningar är fel och definitionen

$$ \ pi = \ dot {\ psi} $$

gäller endast i Heisenbergs bild? Och för att erhålla ovanstående uttryck, som finns i Schrodinger-bilden, måste man ta Heisenbergs bilduttryck:

$$ {pt} {\ sql {2E_p}} \ left {a_p e ^ {- ip \ cdot x} + a_p ^ \ dagger e ^ {ip \ cdot x} \ right) $$

$$ \ pi = \ int \ frac {d ^ 3p} {(2 \ pi) ^ {3}} \ sqrt {\ frac {E_p} {2}} \ vänster (a_p e ^ {- ip \ cdot x} + a_p ^ \ dagger e ^ {ip \ cdot x} \ right) $$

(där jag nu använde 4-vektor notationen) och sedan förvandla dem till Schrodinger bild?

2 Answers


user1620696 05/28/2017.

Först glömmer QFT ett tag och tänker på klassisk fältteori. Tänk på Klein-Gordon-fältet mer exakt. Dess Lagrangian är

$$ \ mathcal {L} (\ phi, \ partial_ \ mu \ phi) = \ dfrac {1} {2} \ partial ^ \ mu \ partial_ \ mu \ phi \ dfrac {1} {2} m ^ 2 \ phi ^ 2 $$

I denna Lagrangian är variable $ \ phi $. Nu $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $

En defines då konjugatmomentet, som i klassisk mekanik, att vara

$$ \ pi = \ dfrac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial (\ partial_0 \ phi)}. $$

Vad får vi för detta fält? Om du arbetar här hittar du $ \ pi = \ dot {\ phi} $.

Det här är helt klassiskt. Sedan med detta i händer kan du kvantisera.

När allt kommer omkring betyder kvantifiering av fältet att du vill ändra $ \ phi, \ pi $ till operatörer som hörs

$$ [\ phi (x), \ phi (y)] = [\ pi (x), \ pi (y)] = 0 $$

$$ [\ phi (x), \ pi (y)] = i \ delta (xy). $$

Således behöver du redan $ \ pi $ för att prata om kvantisering. Som i kvantmekanik behöver du både position och momentum för att införa de kanoniska kommutationsförhållandena.

Förresten, det finns en liten detalj. Kommutationsförhållandena är vid samma tidpunkter. I det fallet behåller de bland Schrodinger bildoperatörerna $ \ phi (\ mathbf {x}), \ pi (\ mathbf {y}) $, eftersom de definieras vid samma inledande tid.

Så om du vill beräkna $ \ pi $ från $ \ phi $ kan du göra det klassiskt och sedan införa de kanoniska kommutationsförhållandena, eller så kan du göra det i Heisenberg-bilden och du får samma resultat.

Edit: Mode sönderdelning kan uppnås i Klassisk Field Theory, det enda är att koefficienterna kommer att vara siffror. Motionens ekvation är

$$ (\ Box + m ^ 2) \ phi = 0 $$

Ta Fourier-omvandlingen i den rumsliga variabeln så att den visar Fourier-transformen med $ \ hat {\ phi} $ du har

$$ \ partial ^ 2_t \ hat {\ phi} + (| \ mathbf {p} | ^ 2 + m ^ 2) \ hat {\ phi} = 0 $$

definiera $ \ omega_ {p} ^ 2 = | \ mathbf {p} | ^ 2 + m ^ 2 $ och $ p = (\ omega_p, \ mathbf {p}) $. Ekvationen parametriseras av $ \ mathbf {p} $ och kan lätt lösas för att ge

$$ \ hat {\ phi} (\ mathbf {p}, t) = a_p e ^ {- i \ omega_p t} + b_p e ^ {i \ omega_p t} $$

Applicera nu realisationsförhållandet i Fourier-transformen

$$ \ hat {\ phi} (- \ mathbf {p}, t) = \ hat {\ phi} (\ mathbf {p}, t) ^ \ ast $$.

Du anländer till skicket

$ a _ {- \ mathbf {p}} e ^ {- i \ omega_p t} + b _ {- \ mathbf {p}} e ^ {i \ omega_p t} = a _ {\ mathbf {p}} ^ e ^ {i \ omega_p t} + b _ {\ mathbf {p}} ^ \ ast e ^ {- i \ omega_p t} $$

exponentialernas linjära oberoende ger sedan $ a _ {- \ mathbf {p}} = b _ {\ mathbf {p}} ^ \ ast $ och $ b _ {- \ mathbf {p}} = en _ {\ mathbf {p} } ^ \ ast $. Nu har du

$$ \ hat {\ phi} (\ mathbf {p}, t) = a_pe ^ {- i \ omega_p t} + a _ {- p} ^ \ ast e ^ {i \ omega_p t} $$

Applicera nu Fourier inversionen för att få

$ \ phi (x) = \ int \ dfrac {d ^ 3 p} {(2 \ pi) ^ 3} (a_p e ^ {- i \ omega_p t} + a _ {- p} ^ \ ast ^ ^ { jag \ omega_p t}) e ^ {i \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x}} $$

om du ändrar variabler på andra termen gör $ p \ till -p $ sedan $ \ omega _ {- p} = \ omega_p $ får du formeln

$$ \ phi (x) = \ int \ dfrac {d ^ 3 p} {(2 \ pi) ^ 3} (a_p e ^ {- ipx} + a_p ^ \ ee {ipx}). $$

$ \ Sqrt {2 \ omega_p} $ ingår sedan för enkelhets skyld för att få ett Lorentz-invariantresultat (det uppgår till en omdefiniering av $ a_p $). Det slutliga svaret är

$$ \ phi (x) = \ int \ dfrac {d ^ 3 p} {(2 \ pi) ^ 3} \ dfrac {1} {\ sqrt {2 \ omega_p}} (a_p e ^ {- ipx} + a_p ^ \ ast e ^ {ipx}). $$

Vänligen förstå att detta inte derive Fock space representation. Detta är bara en klassisk beräkning som i sin tur motivates lägesnedbrytningen vad gäller Fock-rymdstegeoperatörerna.

Förresten finns det ett renare och mer elegant tillvägagångssätt med spacetime Fourier-transformen som finns i frågan En fråga om användning av Fourier-sönderdelning för att lösa Klein Gordon-ekvationen .


Y2H 05/28/2017.

Jag tror jag vet vad ditt problem är. Du glömmer att tidsberoendet kan vara implicit och behöver inte vara explicit. Till exempel kan $ \ psi $ bero på tid eftersom $ x $ och / eller $ p $ beror på tid. I detta fall kommer derivatet inte att vara noll.

Också definitionen måste vara giltig i båda bilderna, eftersom det att avleda en funktion med avseende på tiden är densamma i matrisrepresentationen som att avleda operatören med avseende på tiden.


HighResolutionMusic.com - Download Hi-Res Songs

1 The Chainsmokers

Beach House flac

The Chainsmokers. 2018. Writer: Andrew Taggart.
2 (G)I-DLE

POP/STARS flac

(G)I-DLE. 2018. Writer: Riot Music Team;Harloe.
3 Anne-Marie

Rewrite The Stars flac

Anne-Marie. 2018. Writer: Benj Pasek;Justin Paul.
4 Ariana Grande

​Thank U, Next flac

Ariana Grande. 2018. Writer: Crazy Mike;Scootie;Victoria Monét;Tayla Parx;TBHits;Ariana Grande.
5 Diplo

Close To Me flac

Diplo. 2018. Writer: Ellie Goulding;Savan Kotecha;Peter Svensson;Ilya;Swae Lee;Diplo.
6 BTS

Waste It On Me flac

BTS. 2018. Writer: Steve Aoki;Jeff Halavacs;Ryan Ogren;Michael Gazzo;Nate Cyphert;Sean Foreman;RM.
7 Clean Bandit

Baby flac

Clean Bandit. 2018. Writer: Jack Patterson;Kamille;Jason Evigan;Matthew Knott;Marina;Luis Fonsi.
8 Imagine Dragons

Bad Liar flac

Imagine Dragons. 2018. Writer: Jorgen Odegard;Daniel Platzman;Ben McKee;Wayne Sermon;Aja Volkman;Dan Reynolds.
9 BlackPink

Kiss And Make Up flac

BlackPink. 2018. Writer: Soke;Kny Factory;Billboard;Chelcee Grimes;Teddy Park;Marc Vincent;Dua Lipa.
10 Nicki Minaj

No Candle No Light flac

Nicki Minaj. 2018. Writer: Denisia “Blu June” Andrews;Kathryn Ostenberg;Brittany "Chi" Coney;Brian Lee;TJ Routon;Tushar Apte;ZAYN;Nicki Minaj.
11 Rita Ora

Cashmere flac

Rita Ora. 2018. Writer: Sean Douglas;Lindy Robbins.
12 Backstreet Boys

Chances flac

Backstreet Boys. 2018.
13 Brooks

Limbo flac

Brooks. 2018.
14 Rita Ora

Velvet Rope flac

Rita Ora. 2018.
15 Fitz And The Tantrums

HandClap flac

Fitz And The Tantrums. 2017. Writer: Fitz And The Tantrums;Eric Frederic;Sam Hollander.
16 Little Mix

Woman Like Me flac

Little Mix. 2018. Writer: Nicki Minaj;Steve Mac;Ed Sheeran;Jess Glynne.
17 Cher Lloyd

None Of My Business flac

Cher Lloyd. 2018. Writer: ​iamBADDLUCK;Alexsej Vlasenko;Kate Morgan;Henrik Meinke;Jonas Kalisch;Jeremy Chacon.
18 Billie Eilish

When The Party's Over flac

Billie Eilish. 2018. Writer: Billie Eilish;FINNEAS.
19 Kelly Clarkson

Never Enough flac

Kelly Clarkson. 2018. Writer: Benj Pasek;Justin Paul.
20 Lil Pump

Arms Around You flac

Lil Pump. 2018. Writer: Rio Santana;Lil Pump;Edgar Barrera;Mally Mall;Jon Fx;Skrillex;Maluma;Swae Lee;XXXTENTACION.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags