Vad är "pres på en punkt" exakt definition?

adiselann 01/03/2017. 2 answers, 351 views
fluid-dynamics pressure definition fluid-statics

Jag läser Landaus Fluid Mechanics och i första sidan definieras trycket i varje punkt och varje gång: $ p = p (x, y, z, t) $. Här är varje "punkt" $ (x, y, z) $ verkligen en liten differentialvolym $ dV $ t.ex. en liten rektangulär låda med dimensioner $ dx $, $ dy $, $ dz $ ($ dV = dx dy dz $) , som innehåller mycket partiklar.

Detta tryck $ p $, som en funktion, har egenskapen att $ \ oint_S p \ dS $ är den totala yttre kraften över någon yta $ S $, vilket tyder på att trycket definieras som den totala yttre kraften över ytan av en liten volym dV delade värdet på dess yta. Till exempel, om vi tillämpar krafter på alla ansikten i en låda med dimensionerna $ a, b, c $:

liten lådan och krafterna

Då är trycket över den här rutan: \ begin {ekvation} p = \ frac {F_ {x +} + F_ {x -} + F_ {y +} + F_ {y -} + F_ {z +} + F_ {z-} } {2ab + 2bc + 2ca} \ end {ekvation}

Om jag till exempel har en stor låda med dimensioner $ L $, $ 2L $, $ 2L $ och över den här rutan är externa krafter $ F_x $, $ F_y $, $ F_z $ försöker komprimera den här rutan, och lådan rör sig inte, då är den totala yttre kraften som appliceras på lådan $ 2 (F_x + F_y + F_z) $. Antag att krafterna är jämnt fördelade över ansikten.

skriv in bildbeskrivningen här

Låt oss nu beräkna det integrerade trycket över ytan av den här rutan (det måste vara $ 2 (F_x + F_y + F_z) $). För att göra detta kan vi dela upp rutan i små kuber med volymen $ L ^ 3 / n ^ 3 $. Kraften över vart och ett av de två vinklarna ortogonala till $ x $ -axeln är $ F_x / 4n ^ 2 $, och kraften över ansikten ortogonala till $ y $ axeln är $ F_y / 2n ^ 2 $, likaledes kraften över ansikten ortogonala till $ z $ axeln är $ F_z / 2n ^ 2 $.

Då är trycket över varje liten kub av volymen $ L ^ 3 / n ^ 3 $: \ begin {ekvation} p_0 = \ frac {2 \ left {\ frac {F_x} {4n ^ 2} + \ frac {F_y} {2n ^ 2} + \ frac {F_z} {2n ^ 2} \ right)} {6 L ^ 2 / n ^ 2} \ end {ekvation}

Ignorering av kanterna och vertikalerna kan vi beräkna tryckytans integral med det totala antalet små kuber på ytan men kanterna och multiplicera den med $ p_0 $. Det finns $ (2n-2) ^ 2 $ sådana kuber på de två ytorna med ytan $ 4L ^ 2 $ och $ (2n-2) (n-2) $ på var och en av de fyra återstående ytorna på ytan $ 2L ^ 2 $. Låt $ S $ vara ytan på den stora rutan. Låt $ \ Delta S $ vara ytan på ansiktet på en liten kub ($ \ Delta S = L ^ 2 / n ^ 2 $).

\ start {ekvation} \ oint_S p \ dS \ ca \ vänster (2 (n-2) ^ 2 + 4 (2n-2) (n-2) \ höger) p_0 \ Delta S = \ vänster 2) ^ 2 + 4 (2n-2) (n-2) \ höger) \ frac {2 \ left {\ frac {F_x} {4n ^ 2} + \ frac {F_y} {2n ^ 2} + \ frac {F_z} {2n ^ 2} \ right)} {6 L ^ 2 / n ^ 2} \ frac {L ^ 2} {n ^ 2} = \ frac {4} {3} \ frac {3n ^ 2- 8n + 5} {n ^ 2} \ left {\ frac {F_x} {4} + \ frac {F_y} {2} + \ frac {F_z} {2} \ right) \ end {ekvation}

Tar gränsen som $ n \ rightarrow \ infty $, och med tanke på att kanterna är försumbara för ytintegrationen:

\ begin {ekvation} \ oint_S p \ dS = F_x + 2F_y + 2F_z \ end {ekvation}

Men det här kan inte vara korrekt, eftersom kraften över ytan är $ 2 (F_x + F_y + F_z) $. Jag förstår inte riktigt vad som är fel. Är det definitionen av tryck? Eller är det integrationen?

2 Answers


Fábio Ribeiro 01/04/2017.

I boken anges att kvantiteten $ - \ oint p \ mathrm d \ mathbf f $ är den totala kraften. Om du märker att $ \ mathrm d \ mathbf f $ i fetstil kan du se att det är en vektor och det betyder i huvudsak att integralet är gjort komponent av komponent så att dina beräkningar inte gäller. Så, till exempel: $$ \ int p_ {x +} dS = \ int \ frac {F_ {x +}} {bc} dS = F_ {x +} \ int \ frac {dS} {bc} = F_ {x +} $ $ och liknande för övriga komponenter. I detta exempel är dS inte en vektor. Som du kan se hämtar du alltid den ursprungliga komponenten.

När det gäller den exakta definitionen är det proportionalitetskvoten mellan vektorerna $ \ mathrm d \ mathbf F_n $, den normala komponenten av $ \ mathrm d \ mathbf F $ i ytan och $ \ mathrm d \ mathbf S $. Observera att den definieras oändligt eftersom dessa vektorer i allmänhet är funktioner i positionen.


Farcher 01/03/2017.

Dina problem börjar när du börjar behandla krafter och områden som skalar.

Då är trycket över den här rutan:

\ {y +} + F_ {y -} + F_ {z +} + F_ {z -}} {2ab + 2bc + 2ca} \ end {equation}

är inkorrekt.

Du måste använda vektorformen för ekvationen som ger dig kraften på ett område som beskrivs i Wikipedia-artikeln om tryck .

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags