Vad är "pres på en punkt" exakt definition?

adiselann 01/03/2017. 2 answers, 351 views
fluid-dynamics pressure definition fluid-statics

Jag läser Landaus Fluid Mechanics och i första sidan definieras trycket i varje punkt och varje gång: $ p = p (x, y, z, t) $. Här är varje "punkt" $ (x, y, z) $ verkligen en liten differentialvolym $ dV $ t.ex. en liten rektangulär låda med dimensioner $ dx $, $ dy $, $ dz $ ($ dV = dx dy dz $) , som innehåller mycket partiklar.

Detta tryck $ p $, som en funktion, har egenskapen att $ \ oint_S p \ dS $ är den totala yttre kraften över någon yta $ S $, vilket tyder på att trycket definieras som den totala yttre kraften över ytan av en liten volym dV delade värdet på dess yta. Till exempel, om vi tillämpar krafter på alla ansikten i en låda med dimensionerna $ a, b, c $:

liten lådan och krafterna

Då är trycket över den här rutan: \ begin {ekvation} p = \ frac {F_ {x +} + F_ {x -} + F_ {y +} + F_ {y -} + F_ {z +} + F_ {z-} } {2ab + 2bc + 2ca} \ end {ekvation}

Om jag till exempel har en stor låda med dimensioner $ L $, $ 2L $, $ 2L $ och över den här rutan är externa krafter $ F_x $, $ F_y $, $ F_z $ försöker komprimera den här rutan, och lådan rör sig inte, då är den totala yttre kraften som appliceras på lådan $ 2 (F_x + F_y + F_z) $. Antag att krafterna är jämnt fördelade över ansikten.

skriv in bildbeskrivningen här

Låt oss nu beräkna det integrerade trycket över ytan av den här rutan (det måste vara $ 2 (F_x + F_y + F_z) $). För att göra detta kan vi dela upp rutan i små kuber med volymen $ L ^ 3 / n ^ 3 $. Kraften över vart och ett av de två vinklarna ortogonala till $ x $ -axeln är $ F_x / 4n ^ 2 $, och kraften över ansikten ortogonala till $ y $ axeln är $ F_y / 2n ^ 2 $, likaledes kraften över ansikten ortogonala till $ z $ axeln är $ F_z / 2n ^ 2 $.

Då är trycket över varje liten kub av volymen $ L ^ 3 / n ^ 3 $: \ begin {ekvation} p_0 = \ frac {2 \ left {\ frac {F_x} {4n ^ 2} + \ frac {F_y} {2n ^ 2} + \ frac {F_z} {2n ^ 2} \ right)} {6 L ^ 2 / n ^ 2} \ end {ekvation}

Ignorering av kanterna och vertikalerna kan vi beräkna tryckytans integral med det totala antalet små kuber på ytan men kanterna och multiplicera den med $ p_0 $. Det finns $ (2n-2) ^ 2 $ sådana kuber på de två ytorna med ytan $ 4L ^ 2 $ och $ (2n-2) (n-2) $ på var och en av de fyra återstående ytorna på ytan $ 2L ^ 2 $. Låt $ S $ vara ytan på den stora rutan. Låt $ \ Delta S $ vara ytan på ansiktet på en liten kub ($ \ Delta S = L ^ 2 / n ^ 2 $).

\ start {ekvation} \ oint_S p \ dS \ ca \ vänster (2 (n-2) ^ 2 + 4 (2n-2) (n-2) \ höger) p_0 \ Delta S = \ vänster 2) ^ 2 + 4 (2n-2) (n-2) \ höger) \ frac {2 \ left {\ frac {F_x} {4n ^ 2} + \ frac {F_y} {2n ^ 2} + \ frac {F_z} {2n ^ 2} \ right)} {6 L ^ 2 / n ^ 2} \ frac {L ^ 2} {n ^ 2} = \ frac {4} {3} \ frac {3n ^ 2- 8n + 5} {n ^ 2} \ left {\ frac {F_x} {4} + \ frac {F_y} {2} + \ frac {F_z} {2} \ right) \ end {ekvation}

Tar gränsen som $ n \ rightarrow \ infty $, och med tanke på att kanterna är försumbara för ytintegrationen:

\ begin {ekvation} \ oint_S p \ dS = F_x + 2F_y + 2F_z \ end {ekvation}

Men det här kan inte vara korrekt, eftersom kraften över ytan är $ 2 (F_x + F_y + F_z) $. Jag förstår inte riktigt vad som är fel. Är det definitionen av tryck? Eller är det integrationen?

2 Answers


Fábio Ribeiro 01/04/2017.

I boken anges att kvantiteten $ - \ oint p \ mathrm d \ mathbf f $ är den totala kraften. Om du märker att $ \ mathrm d \ mathbf f $ i fetstil kan du se att det är en vektor och det betyder i huvudsak att integralet är gjort komponent av komponent så att dina beräkningar inte gäller. Så, till exempel: $$ \ int p_ {x +} dS = \ int \ frac {F_ {x +}} {bc} dS = F_ {x +} \ int \ frac {dS} {bc} = F_ {x +} $ $ och liknande för övriga komponenter. I detta exempel är dS inte en vektor. Som du kan se hämtar du alltid den ursprungliga komponenten.

När det gäller den exakta definitionen är det proportionalitetskvoten mellan vektorerna $ \ mathrm d \ mathbf F_n $, den normala komponenten av $ \ mathrm d \ mathbf F $ i ytan och $ \ mathrm d \ mathbf S $. Observera att den definieras oändligt eftersom dessa vektorer i allmänhet är funktioner i positionen.


Farcher 01/03/2017.

Dina problem börjar när du börjar behandla krafter och områden som skalar.

Då är trycket över den här rutan:

\ {y +} + F_ {y -} + F_ {z +} + F_ {z -}} {2ab + 2bc + 2ca} \ end {equation}

är inkorrekt.

Du måste använda vektorformen för ekvationen som ger dig kraften på ett område som beskrivs i Wikipedia-artikeln om tryck .


HighResolutionMusic.com - Download Hi-Res Songs

1 The Chainsmokers

Beach House flac

The Chainsmokers. 2018. Writer: Andrew Taggart.
2 (G)I-DLE

POP/STARS flac

(G)I-DLE. 2018. Writer: Riot Music Team;Harloe.
3 Anne-Marie

Rewrite The Stars flac

Anne-Marie. 2018. Writer: Benj Pasek;Justin Paul.
4 Ariana Grande

​Thank U, Next flac

Ariana Grande. 2018. Writer: Crazy Mike;Scootie;Victoria Monét;Tayla Parx;TBHits;Ariana Grande.
5 Diplo

Close To Me flac

Diplo. 2018. Writer: Ellie Goulding;Savan Kotecha;Peter Svensson;Ilya;Swae Lee;Diplo.
6 BTS

Waste It On Me flac

BTS. 2018. Writer: Steve Aoki;Jeff Halavacs;Ryan Ogren;Michael Gazzo;Nate Cyphert;Sean Foreman;RM.
7 Clean Bandit

Baby flac

Clean Bandit. 2018. Writer: Jack Patterson;Kamille;Jason Evigan;Matthew Knott;Marina;Luis Fonsi.
8 Imagine Dragons

Bad Liar flac

Imagine Dragons. 2018. Writer: Jorgen Odegard;Daniel Platzman;Ben McKee;Wayne Sermon;Aja Volkman;Dan Reynolds.
9 BlackPink

Kiss And Make Up flac

BlackPink. 2018. Writer: Soke;Kny Factory;Billboard;Chelcee Grimes;Teddy Park;Marc Vincent;Dua Lipa.
10 Nicki Minaj

No Candle No Light flac

Nicki Minaj. 2018. Writer: Denisia “Blu June” Andrews;Kathryn Ostenberg;Brittany "Chi" Coney;Brian Lee;TJ Routon;Tushar Apte;ZAYN;Nicki Minaj.
11 Rita Ora

Cashmere flac

Rita Ora. 2018. Writer: Sean Douglas;Lindy Robbins.
12 Backstreet Boys

Chances flac

Backstreet Boys. 2018.
13 Brooks

Limbo flac

Brooks. 2018.
14 Rita Ora

Velvet Rope flac

Rita Ora. 2018.
15 Fitz And The Tantrums

HandClap flac

Fitz And The Tantrums. 2017. Writer: Fitz And The Tantrums;Eric Frederic;Sam Hollander.
16 Little Mix

Woman Like Me flac

Little Mix. 2018. Writer: Nicki Minaj;Steve Mac;Ed Sheeran;Jess Glynne.
17 Cher Lloyd

None Of My Business flac

Cher Lloyd. 2018. Writer: ​iamBADDLUCK;Alexsej Vlasenko;Kate Morgan;Henrik Meinke;Jonas Kalisch;Jeremy Chacon.
18 Billie Eilish

When The Party's Over flac

Billie Eilish. 2018. Writer: Billie Eilish;FINNEAS.
19 Kelly Clarkson

Never Enough flac

Kelly Clarkson. 2018. Writer: Benj Pasek;Justin Paul.
20 Lil Pump

Arms Around You flac

Lil Pump. 2018. Writer: Rio Santana;Lil Pump;Edgar Barrera;Mally Mall;Jon Fx;Skrillex;Maluma;Swae Lee;XXXTENTACION.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags