Tryck i stresssträckan?

Quantum spaghettification 10/15/2016. 2 answers, 527 views
fluid-dynamics pressure definition stress-energy-momentum-tensor stress-strain

Spännings tensor kan skrivas som: $$ \ sigma_ {ij} = - p \ delta_ {ij} + \ sigma '_ {ij} \ label {1} ​​\ tag {1} $$ där $ \ sigma_ {ij} "$ kallas extra stress tensor.

Från det jag förstår trycket är trycket kraft per enhet område, så att kraften som verkar på ytan $ d \ vec A $ ges av: $$ \ vec F = -pd \ vec A \ label {2} \ tag { 2} $$ (Detta medför att kraften på en oändligt tunn yta på grund av ett kontinuerligt tryck är noll). $ \ Sigma_ {ij} $ representerar emellertid kraften i $ i $ riktningen på en yta med normal i $ \ hat e_j $ riktningen. Så kraften som verkar på en yta $ d \ vec A $ måste vara: $$ F_i = \ sigma_ {ij} dA_j \ label {3} \ tag {3} $$ Equations (2) och (3) är helt klart inte överens (även om vi ser så mycket på kraften i $ d \ vec A $ riktningen håller de inte med). Så min fråga är vad som är den exakta betydelsen av tryck i uttryck (1) och varför har vi inte: $$ \ sigma_ {ii} = - p $$

2 Answers


Sanya 10/15/2016.

Inom det vanliga ramverket för kontinuummekanik antas det att det finns två typer av krafter: kroppskrafter och ytkrafter. Den senare kan visas för att vara representativ med en tensor $ \ textbf {T} $, Cauchy stress tensor. Denna tensor ger den lokala spänningen på en yta av: $$ \ vec F = \ textbf {T} d \ vec A $$ Vi kan sedan sönderdela Cauchy-stresstensorn i det isotropa tryckbidraget och stressbidraget (som vi behöver konstitutiva ekvationer för): $$ \ textbf {T} = \ tau -p \ textbf {1} $$ Så din ekvation (3) är korrekt. Din ekvation (2) ger dig ett bidrag till kraften på ytan men inte den totala kraften.


Deep 10/15/2016.

I fluidmekanik är stress tensor $ \ sigma_ {ij} $ den primära kvantiteten. Tryck definieras med hjälp av ekvation (1) som nämns i din fråga. Det är uppenbart att $ -p \ equiv \ frac {1} {3} \ sigma_ {ii} $ ($ \ sigma '_ {ij} $ är traceless per definition). Med andra ord definieras tryck som medelvärdet av normala spänningar på tre ortogonala plan som passerar genom den punkt där stresstensor beräknas. Tryck definierat på detta sätt kallas mekaniskt tryck. När det tolkas så blir ekvation (2) som nämns i din fråga generellt ogiltig. Ekvation (3) som nämns i din fråga är den korrekta formeln för att beräkna nettoeffekten på fluidelementet i riktning $ i $.

Strängt taget är ekvationen (2) som nämns i din fråga endast tillämplig i vätskestatistik, för då $ \ sigma '_ {ij} = 0 $ och så $ \ sigma_ {ij} = - p \ delta_ {ij} $, vilket innebär att normal spänning är densamma i alla riktningar och sålunda blir ekvation (2) entydig. Men människor jämställer detta medelvärde med termodynamiskt tryck när man applicerar relationer från jämviktstermodynamik till flöden. Om denna approximation är gjord kan då inom denna approximation ekvation (2) appliceras på flöden. Till exempel, om en ballong blåses upp, kommer flödet inuti ballongen vara komplicerat. Om emellertid temperaturen inuti ballongen är likformig, och om idealisk gasekvation är tillämplig, kan du beräkna (termodynamiskt) tryck på ballongens invändiga vägg och låtsas som om detta också är det tryck som visas i Navier-Stokes-ekvationen (vilket är trycket definierat av ekvation (1)).

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags