Hitta gränsen för en integrerad: $ \ lim_ {n \ till \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx $

Parisina 07/31/2017. 3 answers, 492 views
integration analysis limits continuity uniform-convergence

Antag att $ f: [a, b] \ till \ mathbb {R} $ är kontinuerlig. Bestäm om följande gräns finns

$$ \ lim_ {n \ till \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx. $$

Eftersom $ f (x) $ och $ \ sin ^ 3 {(nx)} $ är kontinuerliga, så är deras produkt Riemann integrerbar. Men $ \ lim_ {n \ till \ infty} f (x) \ sin ^ 3 {(nx)} $ existerar inte, så det är inte enhetlig konvergens och vi kan inte passera gränsen inuti integralet. Det uppfyller inte heller villkoren i Dini Theorem. Jag vet inte hur man gör ett giltigt argument för det här problemet, men jag tror att jag sa att gränsen inte existerar. Jag uppskattar någon hjälp.

3 Answers


Robert Israel 07/31/2017.

Riemann-Lebesgue lemma . Observera att $ \ sin ^ 3 (nx) = \ frac {3} {4} \ sin (nx) - \ frac {1} {4} \ sin (3nx) $.

2 comments
Parisina 07/31/2017
Tack, jag tror, ​​jag kan slutföra det nu
Teepeemm 07/31/2017
Det verkar vara mer avancerat än vad problemet kräver.

Sangchul Lee 07/31/2017.

Ett något annat sätt att lösa detta är att använda följande observation.

Proposition. Om $ f: [a, b] \ till \ mathbb {R} $ är kontinuerligt är $ g: \ mathbb {R} \ till \ mathbb {R} $ kontinuerligt och $ L $ -periodiskt, då

$$ \ lim_ {n \ till \ infty} \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx = \ vänster (\ int_ {a} ^ {b} f (x) dx \ right) \ left (\ frac {1} {L} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ höger). $$

  1. Om du antar detta uttalande följer svaret omedelbart sedan $ x \ mapsto \ sin ^ 3 x $ är $ 2 \ pi $ -periodic och

    $$ \ int_ {0} ^ {2 \ pi} \ sin ^ 3 x \, dx = 0. $$

  2. Intuitionen är mycket tydlig: Om $ n $ är väldigt stor, så har vi på subinterval $ [c, c + \ frac {L} {n}] \ subset [a, b] $

    $$ \ int_ {c} ^ {c + \ frac {L} {n}} f (x) g (nx) \, dx \ ca f (c) \ int_ {c} ^ {c + \ frac {L} { n}} g (nx) \, dx = f (c) \ cdot \ frac {1} {n} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx. $$

    Så ignorerar detaljer, vi skulle ha

    $$ \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx \ ca \ vänster (\ sum_ {k = 1} ^ {\ lfloor n (ba) / L \ rfloor} f \ left (a + \ frac {kL} {n} \ höger) \ frac {1} {n} \ höger) \ vänster (\ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ höger) $$

    och tar gränsen som $ n \ till \ infty $, konvergerar högra sidan till önskat värde. Att fylla i detaljerna är ganska rutinmässigt.

  3. Antagandet om kontinuitet är bara en teknisk inställning för enkel bevis, och du kan koppla av dem till vissa grader genom att betala mer.


Michael Hartley 07/31/2017.

Du kan inte avsluta $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_a ^ bg (x, n) dx $$ existerar inte bara för att $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} g (x, n ) $$ gör det inte. Exempelvis existerar $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ sin (nx) $$, men $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_0 ^ \ pi \ sin (nx) dx = 0, $$ eftersom integralet är noll för alla $ n $.

Jag är rädd att min användbarhet löper ut vid denna tidpunkt, men jag tror att gränsen existerar: du borde, om inget annat, kunna hitta något epsilon-delta-argument som uttrycker integralen som summan av en massa integraler med längdintervaller $ \ frac {2 \ pi} {n} $. Det här kan vara ett mycket dåligt sätt att ta itu med problemet.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags