Funktioner som alltid är mindre än deras derivat

Mike Brown 08/20/2017. 12 answers, 3.142 views
calculus integration differential-equations derivatives inequality

Jag undrade om det finns funktioner för vilka $$ f '(x)> f (x) $$ för alla $ x $. Endast exempel jag kunde tänka på var $ e ^ x - c $ och helt enkelt $ - c $ där $ c> 0 $. Dessutom finns det någon betydelse i en funktion som alltid är mindre än dess derivat?


Redigera: Tack så mycket för alla svar. Det verkar nästan alla funktioner som gäller är exponentiella av naturen ... Finns det fler exempel som - 1 / x?

Återigen finns det några applikationer / fysiska manifestationer av dessa funktioner? [till exempel ett objekt med en hastighet som alltid är större än sin position / acceleration är alltid större än hastigheten]

3 Comments
1 BallpointBen 07/28/2017
Av toppen av mitt huvud, någon avgränsad, monotont ökande funktion i bottenhalvplanet.
1 Robin Saunders 07/29/2017
Ixions svar ger den fullständiga, mest generella lösningen (även om vissa speciella lösningsfamiljer kan skrivas i trevligare former) och bör accepteras.
Hamsteriffic 07/30/2017
1! Men snälla fixa titeln, ändra "dess" till "deras". Det sätt på vilket titeln är skrivet såg det ut som om du övervägde derivat av alla beställningar. Och nu är jag nyfiken på den här sidfrågan, haha!

12 Answers


Ixion 07/29/2017.

Om $ y '(x)> y (x) \ quad \ förall x \ in \ mathbb {R} $ kan vi definiera $ f (x) = y' (x) -y (x) $ vilket är positivt $ x $. Antag att $ y '(x) $ är kontinuerlig funktion så att $ f (x) $ är kontinuerlig också. Nu med detta element kan vi bygga differentialekvationen $$ y '(x) = y (x) + f (x) $$ och dess lösningar ges av: $$ y (x) = e ^ {x} \ left (c + \ int_ {x_0} ^ {x} e ^ {- s} f (s) ds \ höger) $$

Återigen finns det några applikationer / fysiska manifestationer av dessa funktioner? [till exempel ett objekt med en hastighet som alltid är större än sin position / acceleration är alltid större än hastigheten]

Jag vet inte om det finns tillämpning av denna intressanta egenskap, men jag är säker på att du inte kan jämföra hastighet med positionen eftersom de inte är homogena kvantiteter.


Aidan Connelly 07/29/2017.

Antag att $ f (x)> 0 $, $ f: \ mathbb {R} \ mapsto \ mathbb {R} $

$ f '(x)> f (x) \ iff \ frac {d} {dx} \ ln (f (x))> 1 $

Så du kan vrida någon funktion $ g $ där $ g '(x)> 1 $ i denna typ av funktion genom att ta exponentialen av den:

$ \ frac {d} {dx} g (x)> 1 \ innebär \ frac {d} {dx} \ ln (e ^ {g (x)})> 1 \ innebär \ frac {d} {dx} e ^ {g (x)}> e ^ {g (x)} $

5 comments
6 Hagen von Eitzen 07/28/2017
Du antar $ f (x)> 0 $ i början
2 MPW 07/28/2017
@HagenvonEitzen: Då kunde han bara använda $ \ hat {f} (x) \ equiv e ^ {f (x)} $ som utgångspunkt för vilken som helst $ f $. På så sätt har man alltid $ \ hat {f} (x)> 0 $.
Robin Saunders 07/29/2017
Ixions svar ger full generalisering genom att tillåta $ \ frac {df} {dx} - f (x) $ att vara någon funktion som är överallt positiv.
Adayah 07/29/2017
@RobinSaunders Nej, han antar kontinuitet av $ f '(x) $.
Robin Saunders 07/29/2017
Jag är ganska säker på att tillståndet inte behövs.

Peter 07/28/2017.

Ett enkelt exempel är $ f (x) = - x ^ 2-3 $


dromastyx 07/28/2017.

Ett mer intressant problem är att hitta en funktion $ f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} $, vars bild är $ \ mathbb {R} $ och uppfyller $ f '(x)> f (x) $ för alla $ x \ in \ mathbb {R} $. En av dessa funktioner är

$$ \ sinh (x), $$

därför att

$$ \ frac {d} {dx} \ sinh (x) = \ cosh (x)> \ sinh (x) $$ för alla $ x \ in \ mathbb {R} $.


M. Winter 07/28/2017.

Ta $ f (x) = e ^ {\ alpha x} $. Sedan har vi $ $ $ ($) för $ $ ($) $ ($) och $ $ $ $ ($). Vi har $ f '(x) <f (x) $.


steven gregory 07/28/2017.

Vad sägs om om du tittar på det som en differentialekvation. Säga

$ y '= y + 1 $

som har lösning $ y = Ce ^ x -1 $

Eller $ y '= y + x ^ 2 + 1 $

som har lösning $ y = Ce ^ x - (x ^ 2 + 2x + 3) $

Eller $ y '= y + 2 \ sin x + 3 $

som har lösningen $ y = Ce ^ x - \ sin x - \ cos x -3 $

3 comments
Robin Saunders 07/29/2017
Ixions svar generaliserar detta till $ y '(x) = y (x) + f (x) $ för någon $ f (x)> 0 $.
steven gregory 07/29/2017
@RobinSaunders - ska jag ta bort mitt svar?
Robin Saunders 07/30/2017
Jag vet inte mycket om Stack Exchange-etikett, men min gissning skulle vara att sedan du skrev upp ditt svar först och det innehåller specifika exempel inte i det andra svaret, borde det vara bra att lämna det.

Eric Towers 07/30/2017.

Ett very enkelt exempel är $ f (x) = -1 <0 = f '(x) $. Relevant för din redigering: Det här är inte alls exponentiellt.

Andra exempel som inte är direkt exponentiella:

  • $ \ frac {- \ pi} {2} + \ arctan x $ är överallt negativt och överallt strängt monotont ökande, så är det överallt mindre än dess derivat.
  • $ -1 + \ mathrm {erf} (x) $ är också överallt negativt och överallt strikt monotont ökande. (Dessa är mycket likartade, eftersom de skiftas kopior av CDFs av (standard / normaliserad) Cauchy och Gaussian distributioner.)
  • $ \ frac {1} {2} \ left (x - \ sqrt {x ^ 2 + 4} \ right) $ är den nedre delen av en hyperbola som har $ x $ -axen och linjen $ y = x $ som asymptoter. Det är överallt negativt och överallt strikt monotont ökande.

Thiago Nascimento 07/28/2017.

Se, $ - \ frac {1} {x}, \ frac {1} {x ^ {2}} \ in \ [0, \ infty] $

1 comments
7 GEdgar 07/28/2017
Mer allmänt, någon negativ funktion med positivt derivat ...

Joshua Kidd 07/28/2017.

Ett annat enkelt exempel skulle vara $ f (x) = -e ^ {- x} $, $ f '(x) = e ^ {- x} $


Adayah 07/29/2017.

Ojämlikheten $$ f '(x)> f (x) $$ motsvarar $$ \ left [f (x) e ^ {- x} \ right]'> 0. $$

Så den allmänna lösningen är att ta någon differentierbar funktion $ g (x) $ med $ g '(x)> 0 $ och sätt $ f (x) = g (x) e ^ x $.

Observera att inget antas om $ f $ förutom differentierbarhet, vilket är nödvändigt för att ställa frågan i första hand.


HelloGoodbye 07/30/2017.

För varje differentialfunktion $ f $ för vilken både $ f (x) $ och $ f '(x) $ är begränsade till ändlängder är $ f' (x) - f (x) $ också begränsat till ett begränsat område, så det finns en $ c $ för vilken $ f '(x) - f (x)> -c \ \ allall \ x $. Därför kan en funktion $ g (x) = f (x) - c $ bildas för vilken $ g '(x) - g (x) - c> -c \ \ förall \ x $ eller $ g' )> g (x) \ \ förall \ x $.

Detta gäller till exempel för många olika periodiska funktioner.

5 comments
1 Adayah 07/29/2017
Det sista uttalandet är fel, eftersom inte varje differentierbar periodisk funktion har begränsat derivat.
HelloGoodbye 07/30/2017
@ Adayah Du har rätt. Jag funderade på periodiska funktioner som var differentierbara vid varje punkt i $ \ mathbb {R} $, men jag inser att en funktion endast måste differentieras på alla punkter i sin domän för att betraktas som differentierbar. Jag har uppdaterat mitt svar.
Adayah 07/30/2017
Jag menar att en funktion $ f: \ mathbb {R} \ till \ mathbb {R} $ kan vara periodisk och differentierbar i varje punkt $ a \ in \ mathbb {R} $ och har fortfarande obundet derivat.
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Har du något exempel på en sådan funktion?
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Jag menar, om en funktion $ f $ är differentierbar överallt, måste dess derivat $ f '$ existera överallt, och $ f' $ måste vara kontinuerlig (för om det innehåller någon diskontinuitet, kan $ f '$ inte existera vid den tiden ). Det gör det omöjligt för $ f '$ att vara obegränsad, eller hur?

Henk Koppelaar 08/02/2017.

Mike ett svar på din ytterligare fråga "Finns det fysiska exempel på detta?" aktiveras av dromastyx.

Hans exempel visar hyperboliska funktioner som beskriver exakt det fysiska fenomenet "solitoner".

Solitoner är ensamma vågor som solfläckar, tsunamier etc. Ett exempel på att hitta sådana vågor gömda i kända ekvationer är:

http://rsos.royalsocietypublishing.org/content/2/7/140406.review-history

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags