Vet de flesta matematiker de flesta ämnen i matematik?

Sid Caroline 08/21/2017. 8 answers, 12.112 views
soft-question

Hur många ämnen utanför hans eller hennes specialisering är en genomsnittlig matematiker bekant?

Till exempel, vet en genomsnittlig gruppteoretiker tillräckligt med partiella differentialekvationer för att klara ett prov på en PDE-kurs på avancerad nivå?

Också, vad är "must-know" ämnen för någon aspirant matematiker? Varför?

Som examenstudent borde jag fokusera mer på bredd (välja ett brett spektrum av klasser som är relativt parvisa oberoende, t.ex. gruppteori och PDE) eller djup (t.ex. mäta teori och funktionell analys)?

5 Comments
5 Mattos 07/27/2017
Bara så du vet, gruppteori används i studien av partiella differentialekvationer, mestadels för att utnyttja eventuella symmetrier som en PDE kan ha.
53 Cauchy 07/27/2017
Nej, en genomsnittlig gruppteoretiker får en tjock $ 0 $ på en doktorandnivå PDE-kurs (han / hon might har studerat PDE någon gång, men han / hon glömde absolut allt).
23 Cauchy 07/27/2017
I allmänhet har de flesta matematiker dock lite exponering för en mängd olika ämnen, så att om de behöver ett visst verktyg från någon annan gren kan de (relativt) snabbt borsta upp materialet och läsa relevant litteratur.
1 owjburnham 07/27/2017
Jag misstänker att detta kan vara landsspecifikt, och så värt att märka? Jag (i Storbritannien) har aldrig behövt ta ett enda prov som doktorand (tack och lov).
6 Robin Saunders 07/29/2017
@ Myles, jag har oftare hört det som sagt om Poincaré.

8 Answers


P. Siehr 07/27/2017.

Din fråga är filosofisk snarare än matematisk.

Min kollega sa till mig följande metafor / illustration en gång när jag var en kandidatexamen och han gjorde doktorsexamen. Och sedan nu har det gått några år jag kan relatera.

Det är svårt att skriva det. Tänk på att dra en stor cirkel i luften, zooma in och dra sedan en stor cirkel igen.

Det här är all kunskap:

[--------------------------------------------] 

All kunskap innehåller mycket, och matte är bara en liten del i det - märkt med korset:

[---------------------------------------x----]
                                        |
Zooming in:
[xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx] 

Matematisk forskning är indelad i många ämnen. Algebra, talteori och många andra, men också numerisk matematik. Det är den här lilla delen här:

[xxxxxxxxxxxxxxxxxxxoxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx]
                    |                    
Zooming in:
[oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo] 

Numerisk matematik är uppdelad i flera ämnen, till exempel ODE-numerik, optimering etc. Och en av dem är FEM-teori för PDE.

[oooooooooooooooooooρoooooooooooooooooooooooo]
                    | 

Och det är den del av kunskap där jag känner mig bekväm och säger "Jag vet lite mer än de flesta andra människor i världen".
Nu efter några år skulle jag utöka den bilden ytterligare ett steg: Min kunskap i den delen ser ganska ut

[   ρ    ρρ  ρ         ρ   ρ          ρ     ρ] 

Jag vet fortfarande bara "lite" om det, det mesta vet jag inte, och det mesta jag har lärt mig är redan glömt.

(FEM-teorin är fortfarande ett stort ämne, som innehåller t.ex. olika typer av PDE (elliptisk, parabolisk, hyperbolisk, annan). Så du kan göra "zooma" flera gånger mer.)


En annan liten visdom är: Någon som slutade skolan tror att han vet allt. När han fått sin magisterexamen vet han att han inte vet någonting. Och efter doktoranden vet han att alla omkring honom inte heller vet någonting.


Fråga om ditt fokus: IMO använder de första åren för att utforska ämnen i matematik för att ta reda på vad du vill. Gå sedan djupare - om du hittade vad du vill.

Finns det "måste veta" ämnen? Det finns grundläggande som du lär dig i de första terminen. Utan dem är det svårt att "tala" och "göra" matte. Du kommer att lära dig de verktyg som du behöver gräva djupare. Efter det känner du dig fri att njuta av matte :)
Om ditt forskningsfokus är till exempel på PDE-numerik (som min är) men du gillar också ren matte - fortsätt och ta en föreläsning. Kommer det hjälpa dig? Kanske kanske inte. Men säkert hade du kul att få kunskap, och det är det som räknas.

Tänk inte för mycket om vilka föreläsningar som ska delta. Allt kommer att visa sig okej. Jag tror att de flesta matematiker kommer att hålla med det uttalandet.

4 comments
46 Eff 07/27/2017
10 Mars 07/30/2017
För rekordet är jag en professionell filosof (doktorsexamen i filosofi, jobb som professor, allt det). Soo ... enligt min professionella mening är denna fråga inte filosofisk. Det är empiriskt. OP frågar om empiriska generaliseringar om matematiker. P. Siehrs förslag är att frågan uppges otillbörligt eller bygger på felaktiga antaganden. Det gör inte frågan eller dess möjliga svar filosofiska. (fwiw Jag håller inte med P. Siehr att frågan som sagt inte kan besvaras, och mina anmärkningar är inte avsedda som stöd för varför kommentarer.)
3 Joonas Ilmavirta 08/01/2017
@Mars Det bör noteras att "filosofiska" i ett matematiskt sammanhang inte brukar referera till filosofins fält alls, men till nästan vilken matematiskt relevant eller inspirerad tanke som helst utan rigorös och formell matematik. (Jag hoppas att matematiker som använder ordet känner igen detta!) Jag håller med om att frågan inte är filosofisk i ordets egentliga mening, men jag tror att det är filosofiskt i den mening som används av många matematiker.
Mars 08/09/2017
Åh, det är intressant @ JoonasIlmavirta. Tack.

Georges Elencwajg 07/27/2017.

Svaret på din fråga är enkelt:
Nej, en genomsnittlig matematiker specialiserad på, säger algebraisk geometri kunde inte klara sig without preparation en examensnivåexamen på partiella differentialekvationer.
Vänta, det är värre än det: han kunde inte ens passera en examen på grundnivå på partiella differentialekvationer.
Vänta, det är ännu värre: han kunde inte klara en tentamen in algebraic geometry på ett annat specialt ämne från sig själv. Till exempel en elementär tentamen om klassificering av singulariteter om han är specialiserad på Hilbert-system.
Omvänt skulle jag bli mycket förvånad om en berömd analytiker som nyligen fick en Fields-medalj kunde lösa övningarna i, säger kapitel 5 i Fultons algebraiska kurvor , den vanliga introduktionen till grundkursalgebraisk geometri.

Some remarks
1) Det jag skrev är lätt att bekräfta privat men omöjligt att bevisa offentligt:
Jag kan inte så mycket skriva att i en nyligen konversation XXX, en respekterad probabilist, visat rikligt att han inte hade någon aning om vad den grundläggande gruppen i cirkeln är.

2) Om författare YYY skrev en artikel om partiella differentialekvationer med hjälp av tekniker från mottaglig grupp betyder det inte att andra specialister inom hans fält vet någon gruppteori.
Det visar inte ens att YYY visste mycket om gruppteori: han kanske har insett att gruppteori var inblandad i sin forskning och intervjuade en gruppteoretiker som skulle ha berättat för honom om mottagliga grupper.

3) På den ljusa sidan verkar vissa mycket exceptionella matematiker känna mycket om nästan alla ämnen i matematik: Atiyah, Deligne, Serre, Tao kommer ihåg.
Mitt ledsna gissning är att deras antal är en funktion som sträcker sig till noll när tiden går.
Och även om jag inte kunde göra en analysundersökning, vet jag vad det betyder för en $ \ mathbb N $ -validerad funktion ...

5 comments
11 Alfred Yerger 07/27/2017
Vi har några personer i min avdelning som i alla fall kan kommentera ett stort antal delfält inom en bred disciplin. Flera geometrar kommer ihåg vem som har något intelligent att säga om ett stort antal områden av geometri. Kanske är det inte möjligt att veta allt. Men förhoppningsvis är det fortfarande möjligt att veta mycket om mycket saker. Jag tror det är nog bra nog, eftersom det nu finns så många fler saker att veta!
1 Santropedro 07/28/2017
Georges, När du säger "Omvänt skulle jag bli mycket förvånad om en ökänd analytiker som nyligen fick en Fields-medalj kunde lösa övningarna i, säg kapitel 5 i Fultons algebraiska kurvor, den vanliga introduktionen till grundkursalgebraisk geometri." hur mycket tid får de tänka på varje övning? Om vi ​​ger dem tillräckligt med tid att läsa boken och öva, så är det säkert för mig att de skulle lösa dem. Får de inte läsa boken, och måste lösa dem på plats, hur mycket tid?
8 Georges Elencwajg 07/28/2017
Kära @ Santropedro, självklart om den lysande analytikern fick en vecka eller två kunde han läsa boken och sedan lösa sina övningar. Den punkt jag ville göra är att han förmodligen inte kunde lösa dem med vad han vet just nu.
2 Michael Kay 07/28/2017
För några år sedan tyckte jag att det skulle vara roligt att försöka ta itu med ett GCSE-mattepapper (för 16-åringar) som min dotter tog hem. På den tiden hade jag seglat genom det utan svårighet. Jag fann att jag inte kunde svara på en enda fråga, även om mitt arbete inom mjukvaruutveckling innebär en regelbunden exponering för en hel del matematik.
2 Georges Elencwajg 07/30/2017
@Mars: Ja, det är exakt punkten. OP-frågan om ämnen som en matematiker kände till. Frågan om han could bekanta sig med ett sådant ämne och hur lång tid det skulle ta är helt annorlunda och ganska korrelerat med begreppet att vara "lysande".

MCS 07/29/2017.

Mina två cent: Om du inte har en magisk hjärna, eller är ett slags epok-skapande geni, kommer du förmodligen att finna att du bara kan hålla så mycket matematik i ditt sinne när som helst. Så av praktiska skäl - både med avseende på att skriva en avhandling och med hänsyn till karriären för ens själv - borde du troligen hålla sig till ett eller två närbesläktade områden, så att du kanske har tillräcklig expertis för att göra dig användbar för en forskningsinstitut eller vad som helst som du vill göra med din framtid.

Med detta sagt har jag funnit att armbågsfett och färdighet i matematik ofta är otrevligt uncorrelated med varandra. Särdrag är ofta mer beroende av hur mycket matematik man har seen . För det ändamålet skulle jag säga, även om du definitivt skulle välja ett ämneområde eller två för att ringa din egen, bör du sträva hålla ett öppet sinne och behålla ett aktivt intresse för så många olika matematiska discipliner som möjligt.

Jag tycker ofta att läsning (även om det bara är tillfälligt) om former av matematik som inte är relaterade till mina forskningsområden ger en mängd nya idéer och insikter. Ju fler mönster och fenomen du är bekant med, desto bättre chans att du märker något av intresse som påverkar ditt arbete, och det kan ge dig en del intuition du kanske inte annars hade. Det hjälper åtminstone dig att veta vilka ämnen eller källor (eller samarbetsparter ...) att leta upp när du snubblar över något utanför ditt område med största kompetens.

Redigera: En sak till. Linear algebra. För att parafrasera Benedict Gross finns det ingen sådan sak som att veta för mycket linjär algebra. Det är freakin everywhere .


paul garrett 07/27/2017.

Det finns naturligtvis en otrolig tvetydighet i frågan. Men med någon tolkning skulle svaret generellt sett vara "nej, de flesta utövare av någon del av X kommer inte ihåg alla X ... eftersom de inte need ".

Om bara för att de allra jämnaste smarta människornas minnen avtar med tiden, kommer det bara att vara en liten återstod av de grundläggande grundläggande sakerna i matematikernas sinne som arbetar i en viss typ av sak i några år. Bortsett från undervisningsberäkningen är det knappt need att komma ihåg mycket annat. Ja, med tanke på stipendiet är detta potentiellt störande, men i faktum i nästan alla professionella matematikssituationer är det knappt motivation / belöning för äkta stipendium. Det passar på något sätt inte in i formler för lönehöjning, befattningshavare eller mycket annat. (Inte att jag själv bryr mig om jag försöker förstå saker "för att betala", eller inte ...)

Det är sant att de flesta universitetsstudierna i USA i matematik försöker skapa viss minimal kompetens / uppskattning för en stor del av grundmatematiken, men efter "passande kvalifikationer" verkar det som om de flesta människor inte finner mycket intresse av att fortsätta breda stipendium, antingen i princip eller för eventuella direkta fördelar.

Jag tar också upp problemet med den (som jag tror är) förenklad bild att "specialisering" är som "zooma in med ett mikroskop" och så vidare. Visst, det här är en försvarbar världsutsikt, och ämnesvis världsutsikt, och det är säkert med sina handlingar att det kan vara en accurate beskrivning ... men jag tror att det inte är korrekt av verkligheten. Specifikt ser jag inte de äkta idéerna som nästan så "lokaliserade" som ett "fysiskt zoommikroskop" skulle vara relevant. Det är tanken att "matte" på ett rimligt sätt kan avbildas som en fysisk sak, vilket medför allt det lokala som det innebär, tror jag är vildt felaktigt. Återigen, ja, vi kan make det vara korrekt, om inget annat av okunnighet eller okunnig-fiat. Men...


Dennis Jaheruddin 07/29/2017.

Frågan om hur många matematiska ämnen en genomsnittlig matematiker vet är starkt beroende av två definitioner:

  1. Ämne
  2. Känna till

Naturligtvis beror det också på andra definitioner (som matematiker) men i mindre utsträckning.

Kvantitativ tillvägagångssätt för att svara på denna fråga

Låt oss definiera nivåer av ämnen i följande, löst baserat på wikipedia :

  1. Matematik (1 ämne på denna nivå)
  2. Ren matematik / Tillämpad matematik (2 ämnen på denna nivå)
  3. Algebra, ..., Operationsforskning (13 ämnen på denna nivå)
  4. Abstrakt algebra, Boolean algebra, ... (Ämnen på denna nivå)

Nu kan jag, baserat på personlig erfarenhet och en bild av den genomsnittliga matematikern, svara på hur mycket en sådan matematiker skulle veta om detta, för varje nivå:

  1. Kan klara en doktorand på detta ämne
  2. Kan klara en kurs på dessa ämnen
  3. Kan klara en doktorand på några av dessa ämnen, kan klara en introduktionskurs om de flesta av dessa ämnen
  4. Kan klara en kurs på några av dessa ämnen (kanske 5 ~ 15%)

Observera att om du går bortom nivå 4 blir du så specifik att du kanske inte hittar fullständiga examen kurser om ett sådant ämne. Därför min slutsats:

Baserat på personlig erfarenhet, förväntar jag mig en genomsnittlig matematiker att ha anständig kunskap om mellan 5% och 15% av ämnena på doktorandnivå


Linas 07/29/2017.

Jag tillbringade flera år på ett projekt för att läsa de första 1-2 kapitlen av minst en mattebok på varje hylla av universitetsbiblioteket. Det var ett försök att få en objektiv undersökning av matematik. Det var bra för mig, men det var en lyx: den tvungna marschen genom ett doktorandprogram och till akademin erbjuder lite tid för sådant beteende. Ändå är det viktigt: alla de allra bästa, mest kända matematikerna använder tydligt tvärvetenskapliga verktyg i sitt arbete. Och för mig personligen var det en slags nivå-up: plötsligt är allting lättare.

Specialiserat på ett fält är som att lyfta vikter med bara din högra arm, ignorera kärnan, rygg och ben: det lämnar dig överraskande svag och oförmögen. När du måste behärska många olika abstraktionsstilar blir du bättre på abstraktion, i allmänhet, även i din valda specialitet. Detta, för mig, var den stora oväntade överraskningen.

För den mer kvantitativa frågan som ställs här: Kan jag "klara ett prov på examenivå XYZ-kurs?" för en 1-årig, 1: a semesterkurs, kanske, förmodligen. Ungefär. Tentamen tenderar att ställa frågor genom att använda frasering och notering som är nära anpassade till klassboken, och denna notation kan variera kraftigt från en lärobok till en annan. Så för det skulle prep behövas. Poängen är att sådan prep blir lättare.

1 comments
Lehs 07/29/2017
Det borde finnas många matböcker i ett universitetsbibliotek. Jag skulle aldrig kunna lära mig alla titlar och absolut inte alla definitioner i alla dessa böcker. Och det är bara omöjligt att komma ihåg så mycket kontext. Men en professionell matematiker kan förmodligen förstå sammanhanget i någon av böckerna om han eller hon måste.

R K Sinha 08/07/2017.

Det finns en stor brist på läroböcker på grundnivå i matematik som skrivs med målet att undervisa "sanna ämnet" så snabbt som möjligt. "Smooth Manifolds by Sinha" är en sådan bok. Om många böcker av sådan typ blir tillgängliga, skulle stipendium i matematik inte vara en sak att skratta.


John Bentin 07/27/2017.

Absolut inte. Till exempel var den stora matematiker Grothendieck otillräckligt väl bekant med aritmetik för att känna igen heltalet $ 57 $ som en icke-prime. De många konton i den här historien kan nås genom en internetsökning för nyckelbegreppen; säg, leta efter grothendieck prime 57 .

5 comments
24 José Carlos Santos 07/27/2017
Detta är ett löjligt exempel! Grothendieck tänkte på primer i allmänhet. Han kunde helt enkelt inte bry sig om huruvida $ 57 $ är en topp.
19 Georges Elencwajg 07/27/2017
Historien är inte klar: Grothendieck gjorde den dumma blunderen i en utbyte efter ett samtal efter att ha blivit ombedd att bli mer konkret av en publik. Självklart ändras det inte med det faktum att Grothendieck var en av de mest djupgående aritmetikerna i 20-talet. Och faktiskt 57 looks lite bra ut av någon psykologisk anledning :-). Omvänt tror många matematiker att jag drar sitt ben när jag säger till dem att $ 4999 $ is prime!
1 Dair 07/27/2017
Jag tror att Terrance Tao också sa att 27 var premiär på Colbert-rapporten, eller något liknande: p (Inte att han inte är väl bekant med primer, bara en underhållande anekdot) Men den bättre frågan är hur vet jag det här? Och vad gör jag med mitt liv?
1 quid 07/27/2017
"Men Grothendieck måste ha vetat att 57 inte är bra, eller hur? Absolut inte, sa David Mumford från Brown University. "Han tänker inte konkret." "Förvisso visste han det i den meningen att han kunde ha svarat på frågan" Är 57 ett prime nummer? " korrekt, och detta blir suddigt där.
1 John R Ramsden 08/02/2017
Om man svarar på den ursprungliga frågan med vad som verkar vara något smaklöst tillvägagångssätt för att påpeka oundvikliga luckor i till och med de största matematikerens kunskaper, skulle ett bättre exempel än en dumt aritmetisk släpp ha varit när Grothendieck frågade en kollega om ett bestämt integrerat han hade stött på, och blev förvånad över att få veta att det vanligtvis kallades Normal Distribution.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags